يوسف وهبي الثاني 2 مسائل متنوعة في الرياضيات

مسألة 1: اثبت ان 2 ظا-1 (1\2) + ظا-1 (1\7) = ط \4
الحل : نفرض ان طا هـ = 1\3 طا ي = 1\7
ظاهـ = 1/3
ظاى = 1/7
ظا2هـ = ( 2 ظاهـ ) / ( 1 - ظا^2 هـ ) = 3/4

ظا( 2هـ + ى ) = [ ظا2هـ + ظاى ] / [ 1 - ظا2هـ ظاى ]
= [ 3/4 + 1/7 ] / [ 1 - ( 3/4 )( 1/7 )] = 1

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 5 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث

جاى = 1/5جذر2 ، جتاى = 7/5جذر2
جاهـ = 1/جذر10 ، جتاهـ = 3/جذر10
جا2هـ = 2 جاهـ جتا2هـ = 3/5
جتا2هـ = 4/5

جا( 2هـ + ى ) = جا2هـ جتاى + جتا2هـ جاى = 1/جذر2

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 3 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى

إذن :

( 2هـ + ى ) = ط/4 وتقع فى الربع الأول



مسألة 2: أثبت أن : ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4

الحل : نفرض أن : ظاهـ = 120/119 ظاى = 1/239

ظا(هـ - ى) = (ظاهـ - ظاى)/(1 + ظاهـ ظاى)

= [(120/119) - (1/239)]/[1 + (120/119)(1/239)]

= [(120*239) - 119]/[(119*239) + 120]

= [120*239) - 119 ]/[120*239 - 239 + 120]

= [120*239) - 119]/[120*239 - 119] = 1
هـ - ى = ط/4
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4



مسألة 3: أثبت أن: ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س

الحل : ظا3س = ظا(2س + س) = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]

ظا3س - ظا2س - ظاس = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]- ظا2س – ظاس

= [1/(1 - ظا2س ظاس)]*[ظا2س + ظاس - ظا2س + ظا^2(2س)ظاس - ظاس + ظا2س ظا^2(س)]


= [ظا^2(2س)ظاس + ظا2س ظا^2(س)]/(1 - ظا2س ظاس)


= ظا2س ظاس (ظا2س + ظاس)/(1 - ظا2س ظاس)
= ظا3س ظا2س ظاس
حيث :
[ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس] = ظا3س


مسألة 4 : من قمة منارة الإسكندرية البالغ ارتفاعها 120متراً رصدت سفينتان في وقت واحد، فوجد أن زاوية انخفاض السفينة الأولى الواقعة في اتجاه 38ه شرق الجنوب من المنارة هي 6¯23ه ووجد أن زاوية انخفاض السفينة الثانية الواقعة في الاتجاه 68ه غرب الجنوب من المنارة هي 18¯59ه . أوجد المسافة بين السفينتين
الحل :نفرض أن السفينة الأولى تقع عند ب ، والسفينة الثانية تقع عند ج
(ب أ ج) = 38 + 68 = 106 درجة ستينية


<(د ب أ) = 23 درجة ، 6 دقائق = 23.1 درجة ستينية


<(د ج أ) = 59 درجة ، 18 دقيقة = 59.3 درجة ستينية


المثلث أ ب د قائم الزاوية فى أ


أ ب = أ د / ظا23.1 = 120/0.42 = 285.7 متر


المثلث أ ج د قائم الزاوية فى أ


أ ج = أ د / ظا59.3 = 120/1.68 = 71 متر


المثلث ب أ ج


(ب ج)^2 = (ب أ)^2 + (ج أ)^2 - 2*(ب أ)(ج أ)جتا 106


(ب ج)^2 = (285.7)^2 + (71)^2 + 2*285.7*71*0.27


المسافة بين السفينتين = ب ج = 312 متر تقريبا